Значение словосочетания «фрактальная размерность»

• Фракта́льная разме́рность (англ. fractal dimension) — один из способов определения размерности множества в метрическом пространстве. Фрактальную размерность n-мерного множества можно определить с помощью формулы:

  D

  =

  −

  lim

  ε

  →

  0

  ln

  ⁡

  (

  N

  ε

  )

  ln

  ⁡

  (

  ε

  )

  {\displaystyle D=-\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\varepsilon })}{\ln(\varepsilon )}}}

  , где

  N

  ε

  {\displaystyle N_{\varepsilon }}

  — минимальное число n-мерных «шаров» радиуса

  ε

  {\displaystyle \varepsilon }

  , необходимых для покрытия множества.Фрактальная размерность может принимать не целое числовое значение.

  Основная идея «дробной» (англ. fractured) размерности имеет долгую историю в области математики, но именно сам термин введён в оборот Бенуа Мандельбротом в 1967 году в его статье о самоподобии, в которой он описал «дробную» (англ. fractional) размерность. В этой статье Мандельброт ссылался на предыдущую работу Льюиса Фрайя Ричардсона, описывающую противоречащую здравому смыслу идею о том, что измеренная длина береговой линии зависит от длины мерной палки (шеста) (см. Рис. 1). Следуя этому представлению, фрактальная размерность береговой линии соответствует отношению числа шестов (в определенном масштабе), нужных для измерения длины береговой линии, к выбранному масштабу шеста. Есть несколько формальных математических определений фрактальной размерности, которые строятся на этой базовой концепции, об изменении в элементе с изменением в масштабе.

  Одним из элементарных примеров является фрактальная размерность снежинки Коха. Её топологическая размерность равна 1, но это ни в коем случае не спрямляемая кривая, поскольку длина кривой между любыми двумя точками снежинки Коха — бесконечность. Никакая сколько угодно малая часть кривой не является отрезком прямой. Скорее, снежинка Коха состоит из бесконечного числа сегментов, соединённых под разными углами. Фрактальную размерность кривой можно объяснить интуитивно, предполагая, что фрактальная линия — это объект слишком детальный (подробный), чтобы быть одномерным, но недостаточно сложный, чтобы быть двумерным. Поэтому её размерность лучше описывать не обычной топологической размерностью 1, но её фрактальной размерностью, равной в этом случае числу, лежащему в интервале между 1 и 2.

Источник: Википедия

• фрактальная размерность

  1. матем. размерность подмножества в метрическом пространстве, термин используется во фрактальной геометрии ◆ Фрактальные размерности используются для характеристики широкого спектра объектов от абстрактных до практических явлений, например: турбулентность, речные сети, рост городов, физиология человека, медицина и рыночные тренды. (цитата из Википедии)

Источник: Викисловарь